2014 m. Lietuvos mokslo premija apdovanoti Matematikos ir informatikos fakulteto Tikimybių teorijos ir skaičių teorijos katedros mokslininkai prof. dr. Ramūnas Garunkštis ir prof. habil. dr. Antanas Laurinčikas už darbų ciklą „Dzeta funkcijos. Universalumas, nuliai ir momentai (1999–2013)“.

Mokslininkams pavyko išspręsti universalumo efektyvacijos problemą ir gauti pirmas efektyvias universalumo teoremas.

Apie  dzeta funkcijas

Paaiškinimą, kas yra dzeta finkcijos, mokslininkai pradėjo nuo pirminių skaičių. Tai skaičiai, kurie dalijasi tik iš savęs ir vieneto, pvz., 2, 3, 5, 7, 11… Pirminiai skaičiai pasiskirstę labai chaotiškai. Tame užburiančiame chaose matematikai siekia atrasti tvarką. Tiesioginiai tyrimai retai būna efektyvūs.

Žinomiausia yra Riemanno dzeta funkcija. „Savo genialiame straipsnyje Bernhardas Riemannas pirminių skaičių pasiskirstymo klausimus performulavo dzeta funkcijos savybių terminais. Pirminiai skaičiai yra diskreti struktūra, o Riemanno dzeta funkcija yra tolydi struktūra. Šis B. Riemanno pastebėtas sąryšis tarp visiškai skirtingų struktūrų buvo labai vaisingas. Vėliau buvo atrasta daug kitų įvairių dzeta funkcijų“, – aiškina laureatai.

Šių mokslininkų darbuose išspręsta universalumo efektyvacijos problema. Kokia tai problema ir kaip ją sprendė? Mokslininkai pradeda nuo Riemanno dzeta funkcijos universalumo savybės paaiškinimo. „Šios funkcijos elgesys, panašiai kaip ir pirminių skaičių, yra chaotiškas. Pasirodo, kad Riemanno dzeta funkcija yra universali, tai yra bet kuriai kitai funkcijai f egzistuoja dzeta funkcijos gabaliukas, kuris yra kiek norima panašus į funkciją f. Kitaip sakant, Riemanno dzeta funkcija apima (pasirinktu tikslumu) visas kitas funkcijas! Universalumo savybė buvo tik egzistavimo teorema, nes nepateikė jokios informacijos, kur galima rasti tą „gabaliuką“, kuris yra panašus į duotą funkciją f. Ši problema tarp matematikų buvo žinoma kaip Riemanno dzeta funkcijos universalumo efektyvizacijos problema“, – pasakoja mokslininkai.

Mokslininkams pavyko išspręsti šią problemą ir gauti pirmas efektyvias universalumo teoremas. Taip pat atrasta nauja ir netikėta dzeta funkcijų nulių klasifikacija. „B. Riemannas atrado, kad pirminių skaičių savybės yra glaudžiai susijusios su nulių savybėmis. Iki šiol buvo nagrinėjama geometrinė vieta, kur yra išsidėstę nuliai, o patys nuliai buvo tarsi anonimai. Mūsų tyrimai leidžia nuliams suteikti individualių bruožų ir dėl to nulius galima klasifikuoti. Tai yra naujas požiūris į nulius. Nulių klasifikacijos buvo paremtos kompiuteriniais skaičiavimais. Galima iš dalies sakyti, kad šios nulių studijos paremtos empiriniais (kompiuteriniais) dzeta funkcijų tyrimais“, – apie šią  klasifikaciją ir  jos paieškas pasakoja prof. dr. R. Garunkštis.

Be jau minėtų atradimų, prof. dr. R. Garunkštis ir prof. habil. dr. A. Laurinčikas savo darbe tyrė dzeta funkcijų momentus ir ribines teoremas. „Nespecialistams tai sunkiau paaiškinami dalykai. Kadangi dzeta funkcijos atskiros reikšmės yra sunkiai prognozuojamos, tai tiriamos tam tikros vidurkinės dzeta funkcijų savybės, vadinamos momentais. Ribinėms teoremoms iliustruoti galbūt tiktų patarlė „Per medžius miško nemato“, t. y. atskiros funkcijos detalės užgožia pagrindinį funkcijos elgesį, kuris gerai išryškėja ribinėje situacijoje. Tas ribinės situacijos vaizdas ir būtų ribinė teorema“, – pasakoja mokslininkai.

Praktinė tyrimų nauda  

Mokslininkų tyrimai priklauso teorinei matematikai – aukščiausiai mokslinio mąstymo formai. Šiais inovacijų ir aukštųjų technologijų laikais praktinė mokslinio mąstymo svarba yra didžiulė. Matyt, kiekvienas žmogus šalia savęs turi ne vieną prietaisą, paremtą tokiomis technologijomis, kurios, beje, keičiasi labai greitai. Profesoriai dr. R. Garunkštis ir habil. dr. A. Laurinčikas dirba Matematikos ir informatikos fakulteto Tikimybių teorijos ir skaičių teorijos katedroje, kurioje yra 4 profesoriai, visi Lietuvos mokslo premijos laureatai. Katedra yra daug nuveikusi skleisdama mokslinį mąstymą. Joje per metus parašoma daugiau kaip 20 aukščiausio lygio straipsnių, būna 10–15 doktorantų. Ši katedra kartu su Diferencialinių lygčių katedra kuruoja matematikos ir matematikos taikymų bakalauro studijų programą, pagal kurią sėkmingai rengiami studentai, pasiruošę dabartiniams technologijų iššūkiams. „Tokie yra netiesioginiai, bet labai svarbūs matematikos taikymai“, – teigia prof. dr. R. Garunkštis. „Dar 1940 m. G. H. Hardy pasididžiuodamas rašė, kad skaičių teorija neturi jokių taikymų buityje, bet nepraėjo nė pusės amžiaus ir pasirodė, kad pirminių skaičių savybės yra tiesiogiai pritaikomos koduojant ir šifruojant, o be to dabar sunku įsivaizduoti bankų, el. balsavimo, interneto veiklą“, – apie tiesioginius tyrimų taikymus pasakoja mokslininkas.

Liko „smulkmena“ – įrodyti Riemanno hipotezę

Kokie dar iššūkiai laukia mokslininkų, tęsiant šį mokslo darbų ciklą? „Kalbant pusiau rimtai, liko viena smulkmena – įrodyti Riemanno hipotezę (RH). Rimčiau, RH yra viena žinomiausių matematikos hipotezių, teigianti, kad Riemanno dzeta funkcijos nuliai yra išsidėstę specialiu, pačiu tvarkingiausiu, būdu. Sakoma, kad paskutinis matematikas, aprėpęs visą matematiką, buvo D. Hilbertas. Jis 1900 m. paskelbė 23 problemų sąrašą, smarkiai paveikusį tolimesnį matematikos vystymąsi. 8-oji problema buvo RH. 2000 m. Clay matematikos institute susirinkę žinomiausi matematikai paskelbė 7 tūkstantmečio problemas. Iš D. Hilberto sąrašo į tūkstantmečio problemas pakliuvo tik RH“, – dėsto laureatai ateities planus.

Šie prof. dr. Ramūno Garunkščio ir prof. habil. dr. Antano Laurinčiko darbai prisidėjo prie universalumo mokyklos, kurios lyderis yra K. Matsumoto, atsiradimo Japonijoje, jų darbai buvo išplėtoti J. Steudingo monografijoje „Value-distribution of L-functions“, kurią išleido „Springer“ leidykla Vokietijoje. Lietuvoje šių darbų pagrindu ginamos daktaro disertacijos, rašomi studentų baigiamieji darbai. Profesoriai yra parengę per 20 matematikos daktarų, šiuo metu vadovauja 8 doktorantams.